1066809715500ПОДГОТОВКА К ОГЭ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.ГЕОМЕТРИЯ.ОБОЗНАЧЕНИЯ. 4730115195453000 стороны треугольника. углы треугольника, угол, лежащий против стороны , угол, лежащий против стороны , угол, лежащий против стороны .106680350710500высоты треугольника, опущенные из вершин, соответственно на стороны и .-523875114935-6096001130300-9620257683500-10096502921000 -81915058420-704850584200радиус окружности, описанной около треугольника. 14325605200650радиус окружности, вписанной в треугольник.периметр треугольника, полупериметр треугольника.площадь многоугольника или круга.длина окружности.УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ.ОСТРЫЙ УГОЛ. ТУПОЙ УГОЛ ПРЯМОЙ УГОЛ2400935798195 506920577343000-40005800100 РАЗВЁРНУТЫЙ УГОЛСМЕЖНЫЕ УГЛЫ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫи смежные углы и вертикальные углы ОВ – общая ОА, ОС – дополнительные лучиОА, ОС – дополнительные лучи ОВ, OD – дополнительные лучи УГЛЫ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙНАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ ОДНОСТОРОННИЕ СООТВЕТСТВЕННЫЕУГЛЫ УГЛЫ УГЛЫ Пусть даны прямые и и секущая , и – углы образованные этими прямыми29152857391400413575525654000409765525654000253555517081502583180170815 2792730839343000401193024828500396430524828500240220513398500236410514351000 4135755259715004088130259715002611755116840002573655116840002983230941260500 ТРЕУГОЛЬНИКИ.БИССЕКТРИСА ВЫСОТА МЕДИАНАТРЕУГОЛЬНИКА ТРЕУГОЛЬНИКА ТРЕУГОЛЬНИКА5716905256540А100А1 BL – биссектриса СС1 и ВВ1 – высоты АА1 – медиана СВОЙСТВА БИССЕКТРИС, ВЫСОТ И МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.Медианы треугольника пересекаются в одной точке.BL – биссектриса треугольникаПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам.Третий признак: по трём сторонам.ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.172085790575Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. Первый признак: по двум углам.Второй признак: по двум сторонам и углу между ними.Третий признак: по трём сторонам.ДРУГИЕ СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА.Сумма углов треугольника.Неравенство треугольника.Внешний угол треугольника.Средняя линия треугольника.317501111250047625114300MN – средняя линияMN ǁ ACТЕОРЕМА ФАЛЕСА.28575814133500Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.2181860252095021268722453400134239024892001277620252095041465524516403498852489200ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ.13589040767000Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.ТЕОРЕМА СИНУСОВ. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ.3850640242697000 139065242252500ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА.(формула Герона)50482516700500РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.- равнобедренный14478061595АВ = ВС48920406032500Свойства равнобедренного треугольникаПризнаки равнобедренного треугольника4762569215- равнобедренный1. 2. СС1 – медиана, биссектриса, высота1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.3. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.4. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК.1327154053840- равносторонний.АВ = ВС = АС4740275567944000ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.- прямой, - прямоугольный треугольникАС = b, ВС = a – катеты прямоугольного треугольникаАВ = с – гипотенуза ТЕОРЕМА ПИФАГОРАПропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСинус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника.c2 = a2 + b2-1968592075005524596520 Свойства прямоугольного треугольникаПризнаки равенства прямоугольного треугольника1. .2. 3. 12192029546554. CD – медиана1. Признак равенства прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.2. Признак равенства прямоугольного треугольника по двум катетам.3. Признак равенства прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углу. 4. Признак равенства прямоугольного треугольника по катету и противолежащему острому углу.5. Признак равенства прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА ДЛЯ УГЛОВ 300, 450 И 600.ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.ПАРАЛЛЕЛОГРАММ28575129476500336553239135001358909842500Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны., .Свойства параллелограмма:1. AB = DC, AD = BC. .2. AO = OC, BO = OD.3. Сумма углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, равна 1800 ();4. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов длин его сторон: ,где d1,d2-диагонали параллелограмма, a, b - смежные стороны параллелограмма;5. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.где a – основание параллелограмма, hа – высота;, где a, b – смежные стороны параллелограмма, - угол между сторонами параллелограмма;, где d1, d2 – диагонали параллелограмма, - угол между диагоналями.ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММАЕсли в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.ПРЯМОУГОЛЬНИК4864101587500230505102235Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника.1. AB = DC, AD = BC;2. 3. AC = BD,AO = OC = BO = OD;4.стороны прямоугольника являются его высотами;5. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин его сторон;6. прямые, содержащие серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника, являются его осями симметрии (прямые a, b).S = ab, a – ширина прямоугольника, b – длина прямоугольника;, где d – диагонали прямоугольника, - угол между диагоналями прямоугольника.ПРИЗНАК ПРЯМОУГОЛЬНИКАЕсли в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.РОМБ39814513271500Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.AB = BC = CD = ADСвойства ромба.1. AB = DC = AD = BC. ;2. AO = OC, BO = OD;3.;4. прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.S = ah, a – сторона ромба, h – высота ромба , где d1, d2 – диагонали ромба., где сторона ромба, угол между сторонами ромбаКВАДРАТ855345301498056388013849350012573020193000Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.Свойства квадрата.1. диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны AC = BD, ;2. диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам AO = OC, BO = OD;3. прямые, содержащие диагонали квадрата, являются биссектрисами его углов AC и BD;4. прямые, содержащие диагонали квадрата, и прямые, содержащие серединные перпендикуляры к сторонам квадрата, являются его осями симметрии;5. точка пересечения диагоналей квадрата является его центром симметрии (О). S = a2, где а – сторона квадрата , где d – диагональ квадрата.ТРАПЕЦИЯ121285174625Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. - боковые стороны, - основания трапеции.Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции (СН).Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции КМ. 61531515646402470152518410 Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны AB = CD.Свойство.В равнобедренной трапеции углы при основании равны .Диагонали равнобедренной трапеции равны. АС = BD.Прямоугольная трапеция – трапеция, один из углов которой – прямой., где a, b – основания трапеции, h – высота трапеции.ОКРУЖНОСТЬ.Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.666757370445OX = OB = OD = r – радиусы окружности BD = d – диаметр окружности (BD = OD + OB, BD = 2OD, d = 2r)АВ – хорда окружностиO – центр окружностиОкр.(О; r) – окружность с центром в точке О и радиусом r.С – длина окружности67945679450020948656413500 длина дуги окружностиВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ.d - расстояние между центрами окружностей, О1 и О2 – центры окружностей, R и r (R >r) – радиусы окружностей. Окружности не имеют общих точекОкружности имеют только одну общую точку. Окружности касаются внешним образом.Окружности имеют две общие точки.Окружности имеют только одну общую точку. Окружности касаются внутренним образом.Окружности не имеют общих точек. Центры окружностей совпадают.Такие окружности называют концентрическими.КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ К ОКРУЖНОСТИ.КАСАТЕЛЬНАЯСЕКУЩАЯ1905952500Прямая и окружность имеют одну общую точку.Прямая, называется касательной.а – касательная к окружности.А – точка касания2540952500Прямая и окружность имеют две общие точки. Прямая АВ – секущая.А и В - общие точки.Свойства касательной.1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 1081405603250002. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.774065262255000 АВ = AC Свойство касательной и секущей.Если через точку А к окружности проведены касательная АМ (М – точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С, то АМ 2 = АС ∙ АВ.Свойство секущих.1786890255905000Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки равны. ОВ ∙ ОА = ОС ∙ ODПРИЗНАК КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ.Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ.Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре окружности.Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.1438910233299000Свойства вписанных углов.1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.13919203247390002. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), - прямой. Угол между касательной и секущей.Угол между касательной и хордой.Угол между пересекающимися хордами.488956518910СВОЙСТВО ХОРД.CD и АВ – хорды окружности ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ.ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬЕсли все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной, а многоугольник – описанным около этой окружности.1. В любой треугольник можно вписать окружность.167767020320002. Центр окружности, вписанной в треугольник, - это точка пересечения биссектрис треугольника.3. Центр вписанной окружности треугольника равноудалён от всех сторон. ОР = ON = OM.Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.135001019354801. Около любого треугольника можно описать окружность.2. Центр окружности, описанной около треугольника, - это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.а) Если треугольник остроугольный, то центр его описанной окружности расположен внутри треугольника.б) Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности расположен вне треугольника.в) Если треугольник прямоугольный, то центр его описанной окружности является середина гипотенузы.3. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Любой правильный многоугольник является как вписанным, так и описанным, причём центры его описанной и вписанной окружностей совпадают.Точку, которая является центром описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника, называют центром правильного многоугольника.ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РАДИУСОВ ОПИСАННОЙ И ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТЕЙ ДЛЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.ПРАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.№ 1. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.245110085534500(Ответ: 9)№ 2. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14. (Ответ: 14)23209253226435№ 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена фигура. Найдите её площадь. (Ответ: 11)28771854719320№ 4. В равностороннем треугольнике  ABC  медианы  BK  и  AM  пересекаются в точке O. Найдите .(Ответ: 600)№ 5. Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°. (Ответ: 420)№ 6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AC. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9-ЫХ КЛАССОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ ПО ГЕОМЕТРИИ.Справочный материал содержит материал по курсу геометрия 7 – 9 класс. Цели и задачи создания справочника:систематизировать материал по основным математическим понятиям и формулам школьного курса геометрии;создать учащимся условия для беспроблемного решения многих математических задач при выполнении домашнего задания, при подготовке к контрольным работам, к ЕГЭ и ОГЭ;Способствовать развитию познавательной активности учащихся через знакомство с формулами, облегчающими процесс решения задачи;Способствовать развитию математических способностей одарённых детей через знакомство с формулами, не входящими в школьную программу по математике.