Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Астрахани«Средняя общеобразовательная школа No 40»ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТПО ТЕМЕ: ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА В МИРОВОЙ КУЛЬТУРЕВыполнила: ученица 10 «Б» класса Решетова Елизавета Научный руководитель: Шведова Светлана ВладимировнаАстрахань - 2023ОГЛАВЛЕНИЕВведение 3Глава 1. Виды многогранников, их свойства и место в искусстве 1.1. Понятие многогранников1.2. Правильные многогранники (Платоновы тела)1.3. Геометрия в искусстве1.3.1. Многогранники в живописи. Работы М.К.Эшера1.3.2. Многогранники в архитектуреГлава 2. Возможности практического применения моделей многогранников в художественном творчестве 182.1. Модели многогранников из бумаги (развёртки) 18 Заключение 19Список использованных источниковПриложения2ВведениеАктуальность данного проекта состоит в том, что правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен. Считается, что в основе строения Платоновых тел заложены пропорции всего, из чего состоит мир. Поэтому эти уникальные фигуры и получили название «ключей мироздания». Платоновыми телами называют правильные многогранники. Правильных многогранников всего пять. Первое систематическое исследование пяти правильных тел было предпринято еще пифагорейцами (6в. до н.э.). Поскольку взгляды пифагорейцев подробно изложены в диалоге Платона «Тимей», правильные многогранники принято называть Платоновыми телами. Платон (4в. до н.э.) писал, что атомы четырех элементов, из которых строится мир (огня, земли, воздуха, воды), имеют форму тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Весь же мир в целом построен в форме додекаэдра.Данный проект предполагает организацию изучения правильных многогранников, их видов, математических характеристик; изучение применения многогранников в других науках, в искусстве и мировой культуре. Работа над проектом способствует расширению кругозора, углублению знаний по геометрии, формированию навыков самостоятельного исследования. Цель проекта: изучить практическое применение Платоновых тел в мировой культуре.Задачи проекта:1. Найти в научной литературе и сети Интернет материал по исследуемой теме.2. Обобщить, систематизировать и изучить найденный материал.3. Узнать историю Платоновых тел.4. Рассмотреть область применения Платоновых тел.3ГЛАВА 1. ВИДЫ МНОГОРАННИКОВ, ИХ СВОЙСТВА И МЕСТО В ИСКУССТВЕ1.1. ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКОВМногогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне.Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел.Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед.1.2. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ (ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА)Многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в4каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра.ОгоньВоздухВодаТетраэдрОктаэдрИкосаэдр 5Земля Гексаэдр (куб)Вселенная Додекаэдр Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел: Вселенная - додекаэдр – фигура, воплощающая в себе «все сущее», символизирующее мироздание и с точки зрения древних ученых – это самый главный многогранник; Земля – куб, так как эта фигура самая устойчивая; Огонь – тетраэдр, так как его вершина устремлена вверх; Вода – икосаэдр, так как эта фигура самая обтекаемая; Воздух – октаэдр, так как, по мнению древних философов этотмногогранник самый «воздушный».Позже учение пифагорейцев о правильных многогранникахизложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ -6идеалист Платон (427-347 до н.э.). И одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в его трактате Платона «Тимаус». С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.Итак, древние ученые описали пять типов правильных многогранников более двух тысяч лет назад: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого «тетра» - четыре, «эдрон» - грань; гексаэдр (куб) имеет 6 граней, «гекса» - шесть; октаэдр - восьмигранник, «окто» - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, «додека» - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, «икоси» – двадцать.Тетраэдр - правильный четырехгранник (рис.1). Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).а) модель б) эпюр Рис.1 ТетраэдрГексаэдр - правильный шестигранник (рис. 2). Это куб, состоящий из шести равных квадратов. 7 а) модель б) эпюр Рис.2 ГексаэдрОктаэдр - правильный восьмигранник (рис.3). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины. а) модель б) эпюр Рис.3 ОктаэдрДодекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 4). 8а) модель б) эпюр Рис.4 ДодекаэдрИкосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.5). а) модель б) эпюр Рис.5 Икосаэдр1.3. ГЕОМЕТРИЯ В ИСКУССТВЕКрасота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. А.В.Волошин Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии. А.С.Пушкин ... Геометрия родилась для удовлетворения потребностей практики. Почти в каждом учебнике сказано нечто такое... А вот другое суждение: геометрия (как и поэзия, живопись, скульптура, музыка), есть порождение потребности человека в духовности, в познании и красоте. Истина, по-видимому, где-то посередине. В.М. ТихомировСвоеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в9неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга.Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству.1.3.1. МНОГОГРАННИКИ В ЖИВОПИСИ. РАБОТЫ М.К. ЭШЕРАВ рамках исследования правильных многогранников и их роли в искусстве, мы остановились на работах нидерландского художника - графика М.К. Эшера, в работах которого использован широкий круг математических идей.Когда Эшер учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.В процессе своей работы он черпал идеи из математическихстатьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости,проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой10геометрии. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами».В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.На гравюре «Четыре тела» (рис.6) Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. Рис.6Большое количество различных многогранников может бытьполучено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос» (рис.7).11 Рис.7В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкцииконтрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера.Наиболее интересной среди них является гравюра «Звезды» (рис.8).12 Рис.8Здесь можно увидеть тела, полученные объединениемтетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить восприятие всей фигуры. Таким образом, нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.Многоугольники, как и сферы, используются в работах Эшера для создания перспективы. Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация» (рис.9).13 Рис.9На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. На каждой из площадок живёт длинношеее четырёхногое бесхвостое фантастическое животное; его туловище находится в пирамиде, в отверстия которой оно высовывает конечности, верхушка пирамиды является одной из стен жилища соседнего чудовища. Пирамиды одновременно выступают и как стены, и как полы: литография служит переходом к группе относительности.Стоит заметить, что тема многогранников в живописи интересовала не только М.Эшера.Например, знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471- 1528), увлекавшийся геометрией, в известной гравюре «Меланхолия» (рис.10) на переднем плане изобразил додекаэдр.14 Рис.10На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря»(рис.11) Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела Вселенная, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. 15Рис.11Леонардо да Винчи (1452 – 1519) поражало совершенство,гармония многогранников, он увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.1.3.2. МНОГОГРАННИКИ В АРХИТЕКТУРЕАрхитекторы древнего мира и современности также не обошли вниманием многогранники.В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр.В наши дни многогранники – это главное открытие человечества. Где мы живем, на чем мы ездим, где учимся, где работаем, где покупаем и приобретаем товары и услуги – мы в постоянном окружении многогранников, все архитектурные строения возведены в виде многогранников.Мы отразили лишь некоторые знаменитые творения архитекторов.- Александрийский маяк.В 285 году до н.э. на острове Фарос архитектор Сострат Книдский приступил к строительству маяка. Маяк строился пять лет и получился в виде трехэтажной башни высотой 120 метров. В основании он был квадратом со стороной тридцать метров, первый 60-метровый этаж башни был сложен из каменных плит и поддерживал 40-метровую восьмигранную башню, облицованную белым мрамором. На третьем этаже, в круглой, обнесенной колоннамибашне, вечно горел громадный костер, отражавшийся сложной системой зеркал.- Галикарнасский мавзолей. 16Мавзолей построен в виде почти квадратного здания, первый этаж которого был собственно усыпальницей. Снаружи эта громадная погребальная камера, площадью 5000 кв. метров и высотой около 20 метров, была обложена отесанными и отполированными плитами белого мрамора. Во втором этаже, окруженном колоннадой, хранились жертвоприношения, крышей же мавзолея служила пирамида.- Египетские пирамиды.Они словно вырастают из песков пустыни -колоссальные, величественные, подавляющиечеловека необычайными размерами и строгостьюочертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей.- Башня Сююмбике.Башня Сююмбике находится в Казани и состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды верхние - многогранники.- Мечеть Кул-Шариф.Одна из главных мусульманских мечетей республики Татарстан и Казани. Расположена на территории Казанского кремля. Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников.- Башни Азриэли.Комплекс из трёх небоскрёбов квадратной,круглой и треугольной формы 17в центре Тель-Авива.- Астраханский кремль. Деревянная крепость была перестроена на каменную в период правления Иоанна IV Грозногои Бориса Годунова – с 1582- 1589 гг..Территория Астраханского кремля имеет форму вытянутого треугольника площадью 11 га., общий периметр крепостной стены с семью башнями составляет 1544 метра. Из всех башен только Красные ворота имеют форму «круглого» многогранника, остальные — квадратные в плане, «выдвинутые» за линию стены. Изучив теоретическую сторону вопроса по проблеме многогранников, их роли в искусстве, я решила сделать практическую работу, объемные фигуры многогранников из бумаги в технике склеивания разверток многогранников. Схемы и шаблоны представлены в приложениях к работе.18ГЛАВА 2. ВОЗМОЖНОСТИ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ МНОГОГРАННИКОВ ВХУДОЖЕСТВЕННОМ ТВОРЧЕСТВЕ2.1. МОДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ ИЗ БУМАГИ (РАЗВЁРТКИ)Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть ее на плоскость так, чтобы все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в данной плоскости, то полученная фигура на плоскости называется разверткой многогранника.При моделировании из бумаги важно придерживаться нескольких несложных правил, следование которым позволит создать аккуратные фигуры:- бумага должна быть достаточно плотной;- вырезать заготовки (развёртки) нужно аккуратно, не забывая оставлять «язычки», на которые наносят клей;- перед тем, как сгибать развёртку по нужным линиям, по ним желательно продавить линии сгиба с помощью линейки и тупого конца ножниц.Что касается чертежей разверток, мы воспользовались интернетом. Нужные нам развертки распечатали и вырезали.19ЗаключениеЗнакомство с темой многогранников, их ролью в искусстве, возможностью применения в художественном творчестве позволило взглянуть на геометрию не просто как науку. Мы увидели, насколько геометрические понятия применимы в жизни, в культуре, в творчестве. Оказывается, геометрия вокруг нас! И на примере знакомства с многогранниками, мы увидели, что эта область науки служит интересам практики, культуры, искусства.Моделирование многогранников из бумаги позволило более глубоко познакомиться с геометрией, увидеть многогранники в объеме.Правильных многогранников в геометрии всего пять, но они нашли широкое применение во многих областях жизни человека, в архитектуре, живописи, других видах искусства.20Список использованных источников1. Алексеев В. Математическое искусство М.Эшера // Сайт Влада Алексеева, 2001-2015. URL: http://im- possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html (дата обращения: 02.02.2015).2. Бумажная страна // Сайт: Подарите бумаге жизнь! URL: http://bumazhnaja-strana.ru/ofisnye-razvlecheniya-kub-iz-bumagi-sxemy (дата обращения: 23.02.2015)3. Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. – 236 с.4. Виды многогранников // URL: http://graph.power.nstu.ru/wolchin/umm/Graphbook/book/001/027.htm (дата обращения: 02.02.2015)5. Козлова Н.А. Геометрия и искусство // Сайт Козловой Н.А., учителя математики и ИЗО, г. Санкт-Петербург, 2012-2015 г. URL: http://geometry-and-art.ru/esher.html (дата обращения: 02.02.2015)6. Козлова Н.А. Математика и искусство // Сайт Козловой Н.А., учителя математики и ИЗО, г. Санкт-Петербург, 2012-2015 г. URL: http://matematikaiskusstvo.ru/geometryandart.html (дата обращения: 02.02.2015)7. М.К. Эшер // https://ru.wikipedia.org/wiki/ (дата обращения: 25.01.2015)8. М.Шлиан // Сайт работ М. Шлиана // URL: http://www.mattshlian.com/ (дата обращения: 25.01.2015)9. Математика для школы // сайт "Математика для школы, 2012- 2015 г. // URL: http://math4school.ru/mnogogranniki.html //(дата обращения: 05.02.2015)10.Мир бумажного ремесла // Сайт: Мир бумажного ремесла.Поделки для взрослых и детей.http://wopc.ru/figures/piramida/(дата обращения: 23.02.2015)URL:2111. Модели многогранников, статьи о многогранниках. История многогранников //Сайт о многогранниках. URL: http://mnogograns.narod.ru/history.html(дата обращения: 23.02.2015)12. Модели многогранников, статьи о многогранниках. Правильные многогранники // Сайт: Многогранники: модели, статьи, истории многогранников. URL: http://mnogograns.narod.ru/pravilnie.html(дата обращения: 23.02.2015)13. Объемные многогранные панно из бумаги Matt Shlian // URL: http://www.creativetherapy.ru/2013/06/15/obemnye-mnogogrannye- panno-iz-bumagi-matt-shlian/(дата обращения: 25.01.2015)14. От фрактала до рекурсии: краткий гид по миру М.К.Эшера //Сайт ООО «Компания Афиша», 1999 -2015.URL: http://vozduh.afisha.ru/art/ot-fraktala-do-rekursii-kratkiy-kurs-po-miru- mkeshera/(дата обращения: 15.02.2015)15. Платья-оригами от Амилы Хрустич // Сайт Интернет- журнала Pro Handmade. Ручная работа. 2009- 2014 г. Сделано в России. http://www.prohandmade.ru/things/platja-origami-ot-amily- hrustich/ (дата обращения 22.02.2015)16. Поделки своими руками // Сайт Детские поделки своими руками, мастерите с удовольствием! 2012-2015. URL:http://do- crafts.ru/kak-sdelat-kub-iz-bumagi/ (дата обращения: 01.03.2015)17. Правильные фигуры и тела // Сайт Dnepropetrovsk 2012. URL: http://w2.miwzua.com/PolyHedRon/Arhitektura.htm (дата обращения: 24.02.2015)18. Сиретт Н. Рисуем оптические иллюзии. Пер. с англ.- М.: Эксмо, 2011. – 128 с.22ПРИЛОЖЕНИЕ 1РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ 23ПРИЛОЖЕНИЕ 2ОБЪЕМНЫЕ МНОГОГРАННЫЕ ПАННО ИЗ БУМАГИ MATTSHLIAN (примеры работ) 24 25 26 27 28ПРИЛОЖЕНИЕ 3ПЛАТЬЯ – ОРИГАМИ ОТ АМИЛЫ ХРУСТИЧДизайнер из Сараево Амила Хрустич (Amila Hrustic)создала свою коллекцию одежды, на основе элементарных (платоновых) геометрических фигур. Она изготовила несколько элегантных платьев ручной работы, в основе которых лежат кубы, тетраэдры, октаэдры, додекаэдры и икосаэдры. Коллекция получила название «Платонова коллекция». 29 3031